앙리 푸앵카레 카오스 이론, 상금보다 비싼 실수에서 시작됐다

1887년 스웨덴 왕 오스카르 2세가 태양계 안정성 문제에 상금 2,500크로네를 걸었다

스웨덴 왕이 내건 수학 문제를 풀다가, 뜻밖에 인류 역사상 가장 비싼 실수가 탄생했어요.
1887년, 오스카르 2세는 "태양계는 영원히 안정적인가?"라는 질문에 상금 2500크로네를 내걸었어요.

이게 왜 어려운 문제냐 하면, 태양과 지구 두 천체는 뉴턴이 이미 완벽히 풀었거든요.
그런데 달 하나만 더해 세 개가 되면, 방정식이 갑자기 감당이 안 될 만큼 복잡해졌어요.
삼체 문제라 불리는 이 난제는 당시 200년째 아무도 풀지 못하고 있었어요.

앙리 푸앵카레는 접근 자체를 바꿨어요.
"정확한 수식을 구하는 대신, 궤도가 어떤 모양으로 움직이는지 그 패턴을 추적하자"는 거였어요.
마치 공의 정확한 속도를 계산하는 대신, 어느 방향으로 굴러가는지를 보는 것처럼요.

심사위원들은 이 발상 자체에 감탄했어요.
그래서 1888년, 푸앵카레에게 상금이 주어졌어요.

푸앵카레가 상을 받은 뒤 인쇄 중이던 논문에서 치명적 오류가 발견됐다

상을 받고 나서야 진짜 문제가 시작됐어요.
논문이 학술지 《악타 마테마티카》에 실리기 위해 인쇄에 들어간 뒤, 편집자의 조교가 치명적인 오류를 발견한 거예요.

푸앵카레는 증명 과정에서 "궤도들이 서로 교차하지 않는다"고 가정했는데, 그 가정이 틀렸어요.
사소한 오차가 아니라, 논문 전체의 핵심 논리가 흔들리는 문제였어요.
푸앵카레는 즉시 인쇄를 멈춰달라고 연락했어요.

이미 찍힌 분량을 회수하고 수정하는 비용이 3585크로네였어요.
상금 2500크로네보다 더 많았어요.
상을 받고 나서 되레 자기 돈을 더 써야 했던 거예요.

그런데 그 오류를 고치러 논문을 다시 들여다봤을 때, 전혀 예상치 못한 것이 눈에 들어왔어요.

오류를 수정하다가 푸앵카레가 예측 불가능한 궤도 패턴, 즉 카오스를 발견했다

궤도들이 교차하면 어떤 일이 벌어지는지 들여다봤더니, 그냥 복잡한 게 아니었어요.
아예 예측이 불가능한 패턴이 나타났어요.

두 천체의 초기 위치가 머리카락 한 올만큼 달라도, 시간이 지날수록 궤도가 완전히 다른 방향으로 틀어졌어요.
차이가 작을수록 오히려 결과 차이는 더 극적으로 커졌어요.
처음 조건이 조금만 달라도 전혀 다른 결말에 도달하는 거예요.

푸앵카레는 이렇게 썼어요.
"아주 작은 원인이 우리 눈에 보이지 않아도, 그것이 결국 엄청난 결과를 만들어낼 수 있어."
이게 오늘날 카오스 이론이라 불리는 개념의 첫 번째 수학적 서술이에요.

삼체 문제에 "정확한 해는 없다"는 결론도 여기서 나왔어요.
태양계가 영원히 안정적인지를 수식 하나로 증명하는 건 불가능하다는 뜻이기도 했어요.
왕의 질문에 답하려다가, 그 질문 자체가 애초에 답할 수 없는 종류의 것이었음을 증명해버린 거예요.

1890년 수정 논문이 나왔지만 세상은 70년 동안 그 의미를 알아채지 못했다

푸앵카레의 발견은 1890년 수정 논문에 실렸어요.
그런데 세상은 이 의미를 70년 동안 알아채지 못했어요.

1960년대, 기상학자 에드워드 로렌츠가 컴퓨터로 날씨 모델을 돌리다가 똑같은 현상을 마주쳤어요.
소수점 아래 아주 작은 숫자 하나를 다르게 입력했더니, 날씨 예측이 완전히 달라졌어요.
이게 대중에게 알려진 "나비 효과"이고, 카오스 이론이라는 이름을 얻어 세상에 퍼졌어요.

하지만 로렌츠가 발표할 때, 푸앵카레의 이름은 거의 언급되지 않았어요.
푸앵카레는 이미 1912년에 세상을 떠난 뒤였거든요.

상금보다 비싼 실수를 했고, 그 실수를 고치는 과정에서 현대 과학의 토대 하나를 닦았어요.
그런데 그게 얼마나 대단한 일이었는지 세상이 알아채는 데 60년이 걸렸어요.
그는 자기가 발견한 것의 이름이 뭔지도, 그것이 어디까지 퍼질지도 모른 채 떠났어요.