라이프니츠 미적분, 변화를 잘게 쪼개 세상을 계산한 이야기

옛날 사람들은 '변하는 것'을 계산할 방법이 없어서 미치는 줄 알았다

자, 상상해 보세요. 축구공을 발로 찼어요. 공은 처음에 빠르게 날아가다가 점점 느려지고, 포물선을 그리며 떨어지죠. 그런데 이 공이 정확히 어디에 떨어질지 계산하라고 하면요? 17세기 사람들은 이걸 도저히 풀 수가 없었어요.

왜냐하면 그때까지 수학은 '딱 멈춰 있는 것'만 다룰 수 있었거든요. 삼각형 넓이, 원의 둘레처럼 가만히 있는 도형은 잘 계산했어요. 그런데 세상은 멈춰 있지 않잖아요. 바람은 계속 방향이 바뀌고, 행성은 쉬지 않고 돌고, 물은 끊임없이 흘러요.

과학자들은 답답했어요. 뉴턴 같은 천재가 "사과가 왜 떨어지지?"라고 물어도, 그 떨어지는 속도가 매 순간 어떻게 변하는지 계산할 도구 자체가 없었으니까요. 마치 유튜브 영상을 보고 싶은데 재생 버튼이 아예 없는 것과 비슷해요. 바로 이 막막한 시대에, 독일의 한 천재가 등장합니다. 이름은 고트프리트 라이프니츠예요.

변하는 걸 잘게잘게 쪼개면 답이 보인다 — 유튜브 슬로모션처럼!

라이프니츠의 아이디어는 의외로 단순했어요. "변하는 걸 못 계산한다고? 그럼 아주 잘게 쪼개면 되잖아!" 유튜브에서 슬로모션 영상 본 적 있죠? 물풍선이 터지는 순간을 초당 1000프레임으로 쪼개면, 물방울 하나하나의 움직임까지 보이잖아요. 라이프니츠가 한 일이 딱 그거예요.

움직이는 것을 무한히 잘게 나눠서, 아주 짧은 순간만 보면 거의 멈춰 있는 것처럼 다룰 수 있다는 거죠. 이걸 '미적분'이라고 불러요. 쉽게 말하면, 변화를 잘게 쪼개서 계산하는 기술이에요. 재미있는 건, 영국의 뉴턴도 거의 같은 시기에 같은 아이디어를 떠올렸다는 거예요. 둘 다 독립적으로 발명한 건데, 서로 "내가 먼저야!"라고 엄청 싸웠어요. 역사상 가장 유명한 수학 싸움이죠.

그런데 라이프니츠는 여기서 멈추지 않았어요. 그는 또 하나의 미친 아이디어를 냈는데요. 세상 모든 숫자를 0과 1, 딱 두 개만으로 표현할 수 있다는 '이진법'이에요. 우리가 쓰는 숫자 3은 이진법으로 11, 숫자 7은 111이 되는 식이죠. 당시 사람들은 "그걸 왜 해?"라고 고개를 갸웃했어요. 그런데 이 아이디어가 300년 뒤에 세상을 완전히 뒤집어 놓습니다.

미적분이 없었다면 로켓도, 스마트폰도, 일기예보도 전부 불가능했다

세상을 뒤집다니, 과장이 아니냐고요? 진짜 예를 볼게요. 로켓이 우주로 날아가려면 연료가 타면서 무게가 계속 줄어들잖아요. 무게가 줄면 속도 변화도 달라지고요. 이 복잡하게 변하는 걸 계산하려면? 미적분이 필요해요. 미적분 없이는 로켓의 궤도를 절대 계산할 수 없어요.

일기예보도 마찬가지예요. 기온, 바람, 습도가 매 순간 변하는데, 이걸 미적분으로 쪼개서 계산해야 내일 비가 올지 말지 예측할 수 있거든요. 게임 속 캐릭터가 점프할 때 자연스럽게 포물선을 그리는 것도, 사실 게임 엔진 안에서 미적분 공식이 돌아가고 있는 거예요.

그리고 이진법은요? 컴퓨터는 전기가 흐르거나(1) 안 흐르거나(0), 딱 두 가지 상태만 구분할 수 있어요. 라이프니츠의 이진법이 바로 이 원리와 딱 맞아떨어진 거예요. 결국 모든 컴퓨터, 모든 스마트폰, 모든 인터넷은 0과 1 위에서 작동하고 있어요. 300년 전 "그걸 왜 해?"라는 반응을 받았던 그 아이디어가요.

지금 네 주머니 속 스마트폰은 0과 1로 돌아가고 있다 — 300년 전 그 아이디어 덕분에

지금 이 글을 읽고 있는 기기, 스마트폰이든 태블릿이든 컴퓨터든, 그 안에서는 이 순간에도 0과 1이 미친 듯이 오가고 있어요. 여러분이 보는 글자, 듣는 음악, 하는 게임, 전부 0과 1의 조합이에요. 카카오톡에서 "ㅋㅋㅋ"를 보내는 것도, 유튜브에서 영상을 재생하는 것도요.

급식 메뉴가 앱에 뜨는 것도, 사실 라이프니츠의 이진법 위에서 돌아가는 거예요. 생각해 보면 좀 신기하지 않나요? 1646년에 태어난 독일 아저씨가 "숫자 두 개면 충분해"라고 했는데, 그게 진짜가 된 거잖아요.

라이프니츠는 이런 말을 했어요. "지금 쓸모없어 보여도, 언젠가는 놀라운 일에 쓰일 수 있다." 지금 여러분이 배우는 것 중에도, 300년 뒤에 세상을 바꿀 아이디어가 숨어 있을지 몰라요. 수학 시간에 졸리더라도, 혹시 그 공식이 미래를 여는 열쇠일 수도 있잖아요. 라이프니츠처럼요.