야코프 베르누이와 큰 수의 법칙, 동전 1만 번 던지면 생기는 일

동전 던지기에 숨은 비밀

동전을 하나 꺼내보세요.
던져봅니다.
앞면이 나왔나요, 뒷면이 나왔나요?

한 번 던져서 뭐가 나올지는 아무도 모릅니다.
세 번 던져도 마찬가지예요.
앞면이 세 번 연속 나올 수도 있고, 뒷면만 나올 수도 있죠.

그런데 말입니다.
만약 이 동전을 1만 번 던지면 어떻게 될까요?

놀랍게도, 앞면은 거의 정확히 5천 번 나옵니다.
한두 번이 아니라 1만 번을 던지면, 결과가 마치 약속이라도 한 듯 반반에 가까워지는 거예요.

"우연인데 왜 규칙이 생기지?"

이 질문에 최초로 답을 내놓은 사람이 있습니다.
17세기 스위스의 수학자, 야코프 베르누이입니다.
그는 우연 속에 숨은 법칙을 찾아냈고, 그 발견은 오늘날 우리가 보험에 가입하고, AI가 추천 영상을 골라주는 원리가 되었습니다.

수학을 금지당한 소년

1654년, 스위스 바젤에서 한 아이가 태어났습니다.
이름은 야코프 베르누이.

베르누이 집안은 원래 약장수였습니다.
정확히 말하면 향신료와 약재를 거래하는 상인 가문이었죠.
아버지 니콜라우스는 아들이 가업을 잇거나, 최소한 목사가 되기를 바랐습니다.

"수학 같은 건 돈이 안 돼."

아버지의 말은 단호했습니다.
하지만 야코프는 몰래 수학책을 읽었어요.
장부를 정리하는 척하면서 기하학 문제를 풀었고, 신학 수업 시간에 확률을 계산했습니다.

결국 야코프는 대학에서 신학과 철학을 공부했지만, 마음은 온통 숫자에 가 있었습니다.
졸업 후 유럽 곳곳을 여행하면서 당대 최고의 수학자들을 만났고, 결국 바젤 대학의 수학 교수가 되었습니다.
아버지의 뜻을 정면으로 거스른 셈이죠.

여기서 이야기가 더 재미있어집니다.
야코프에게는 요한이라는 남동생이 있었거든요.

요한도 수학 천재였습니다.
처음에 야코프가 요한에게 수학을 가르쳤어요.
그런데 동생의 실력이 무섭게 자라더니, 어느 순간 형을 위협하기 시작했습니다.

두 형제는 공개적으로 수학 문제를 내고 서로의 풀이를 비판했습니다.
학술지에 서로를 깎아내리는 글을 실었고, 편지로 독설을 주고받았어요.
역사상 가장 유명한 형제 라이벌전 중 하나가 수학계에서 벌어진 겁니다.

하지만 이 치열한 경쟁이 두 사람 모두를 더 높은 곳으로 밀어 올렸습니다.
특히 야코프는 평생에 걸쳐 하나의 거대한 질문에 매달렸어요.

"우연을 숫자로 다룰 수 있을까?"

1만 번 던지면 운명이 보인다

자, 다시 동전 이야기로 돌아갑시다.

동전을 10번 던졌다고 해봅시다.
앞면이 7번, 뒷면이 3번 나왔어요.
"이 동전은 앞면이 잘 나오는 동전이야!"라고 말할 수 있을까요?

아직은 아닙니다.
10번은 너무 적거든요.

그런데 100번 던지면?
앞면이 53번, 뒷면이 47번.
좀 더 반반에 가까워졌죠?

1,000번 던지면?
앞면 504번, 뒷면 496번.

10,000번이면?
앞면 5,012번, 뒷면 4,988번.

보이시나요?
던지는 횟수가 늘어날수록, 앞면이 나오는 비율이 정확히 50%에 수렴합니다.

이것이 바로 야코프 베르누이가 20년 넘게 매달려 증명한 큰 수의 법칙입니다.

쉽게 말하면 이런 겁니다.

학교 앞 붕어빵 가게를 생각해보세요.
어떤 날은 손님이 100명 오고, 어떤 날은 20명밖에 안 옵니다.
하루하루는 예측할 수 없어요.

그런데 1년 치 기록을 보면?
하루 평균 손님이 약 55명이라는 숫자가 또렷하게 나타납니다.
한 번은 우연이지만, 많이 모이면 법칙이 된다.
이것이 큰 수의 법칙의 핵심이에요.

야코프는 이 사실을 직감이 아니라 수학적으로 증명했습니다.
"충분히 많이 시도하면, 실제 결과는 이론적 확률에 원하는 만큼 가까워진다."
이것을 엄밀한 수식으로 보인 최초의 인간이 바로 그였어요.

이 법칙이 왜 중요하냐고요?

카지노를 생각해보세요.
룰렛에서 빨간색에 건 손님이 이길 확률은 약 47%입니다.
카지노가 이길 확률은 53%.
고작 6% 차이예요.

한 판만 보면 손님이 이길 수도 있습니다.
하지만 하루에 수천 판이 돌아가면?
큰 수의 법칙에 의해 카지노는 반드시 수익을 냅니다.
그래서 카지노는 절대 망하지 않는 거예요.
손님 한 명의 운이 아니라, 수만 번의 게임이라는 "큰 수"를 믿으니까요.

보험회사도 마찬가지입니다.
한 사람이 언제 아플지는 아무도 몰라요.
하지만 100만 명의 건강 기록을 모으면, 올해 독감에 걸릴 사람의 비율은 놀라울 만큼 정확하게 예측할 수 있습니다.
보험료가 정해지는 원리가 바로 이것이에요.

야코프는 이 위대한 발견을 《추측술》이라는 책에 담았습니다.
라틴어 원제는 'Ars Conjectandi'.
"추측하는 기술"이라는 뜻이에요.
안타깝게도 이 책은 야코프가 세상을 떠난 뒤인 1713년에야 출판되었습니다.
그는 자신의 대작이 세상에 나오는 것을 보지 못했어요.

묘비에 새긴 '틀린 나선'

야코프 베르누이에게는 수학적 연인이 하나 있었습니다.
바로 로그 나선이에요.

로그 나선이 뭐냐고요?
소라껍데기를 본 적 있죠?
안쪽에서 바깥으로 갈수록 점점 커지면서 빙글빙글 도는 그 곡선이요.
그게 바로 로그 나선입니다.

야코프는 이 곡선에 완전히 반했습니다.
이유가 있었어요.

로그 나선을 크게 키워도, 모양이 똑같습니다.
작게 줄여도, 모양이 똑같아요.
회전시켜도, 뒤집어도, 어떤 변환을 해도 본질적인 형태가 변하지 않습니다.

야코프는 이 성질에 감탄해서 라틴어로 이렇게 불렀어요.
"스피라 미라빌리스(Spira Mirabilis)" — 경이로운 나선.

그리고 이 나선은 자연 곳곳에 숨어 있습니다.

태풍의 소용돌이를 위성사진으로 보면 로그 나선이에요.
해바라기 씨앗이 빙글빙글 배열된 패턴도 로그 나선입니다.
심지어 수백만 광년 크기의 나선 은하도 이 곡선을 따라 팔을 뻗고 있어요.

소라껍데기에서 은하까지.
작은 것에서 거대한 것까지 같은 곡선이 반복된다니, 야코프가 반할 만도 하죠?

야코프는 유언을 남겼습니다.
"내 묘비에 로그 나선을 새기고, 그 옆에 라틴어로 이렇게 적어달라."

'Eadem mutata resurgo' — "변해도 다시 같은 모습으로 되살아나리."

자신이 세상을 떠나도, 자신의 수학은 변하지 않고 살아남을 거라는 의미였어요.

그런데 여기서 역사의 아이러니가 벌어집니다.

묘비를 만든 석공이 로그 나선과 아르키메데스 나선을 헷갈린 겁니다.

아르키메데스 나선은 간격이 일정한 나선이에요.
모기향처럼 빙글빙글 감기는데, 줄 사이 간격이 똑같죠.
반면 로그 나선은 바깥으로 갈수록 간격이 넓어집니다.

석공은 더 단순한 아르키메데스 나선을 새겨버렸어요.
야코프가 평생 사랑한 "경이로운 나선"이 아닌, 평범한 나선이 묘비에 올라간 거죠.

수학자의 묘비에 수학적 오류가 새겨지다니.
야코프가 알았다면 동생 요한에게 또 한바탕 편지를 썼을 겁니다.

지금도 스위스 바젤의 뮌스터 성당에 가면 이 묘비를 볼 수 있습니다.
틀린 나선과 함께, "변해도 다시 같은 모습으로 되살아나리"라는 글귀가 새겨진 채로요.

오늘도 베르누이는 살아 있다

야코프 베르누이가 세상을 떠난 지 300년이 넘었습니다.
하지만 그가 발견한 큰 수의 법칙은 지금 이 순간에도 작동하고 있어요.

여러분이 유튜브를 켜면, 추천 알고리즘이 영상을 골라줍니다.
이 알고리즘은 수백만 명의 시청 기록을 분석해요.
"이런 영상을 본 사람은 저런 영상도 좋아하더라."
한두 명의 취향은 예측할 수 없지만, 수백만 명의 데이터가 모이면 패턴이 보입니다.
큰 수의 법칙이에요.

AI가 학습하는 원리도 같습니다.
인공지능에게 고양이 사진 10장을 보여주면, 고양이를 잘 구분하지 못해요.
하지만 100만 장을 보여주면?
"고양이는 이렇게 생겼다"는 패턴이 또렷해집니다.
데이터가 많아질수록 정확해지는 것.
야코프가 300년 전에 증명한 바로 그 원리입니다.

여론조사도 마찬가지예요.
전 국민에게 물어볼 수 없으니, 1,000명 정도를 뽑아 질문합니다.
"겨우 1,000명으로 어떻게 전체를 알 수 있어?"라고 의아할 수 있지만, 큰 수의 법칙 덕분에 이 숫자만으로도 전체의 경향을 상당히 정확하게 파악할 수 있어요.

심지어 여러분의 스마트폰 배터리 수명 예측도 이 법칙을 씁니다.
수만 대의 같은 기종 데이터를 모아서 평균 수명을 계산하는 거죠.

야코프 베르누이는 아버지의 반대를 무릅쓰고 수학을 택했습니다.
동생과 치열하게 경쟁하며 학문을 갈고닦았고요.
"우연은 정말 우연일까?"라는 단순한 질문에 20년을 매달렸습니다.

그 결과, 우리는 알게 되었어요.
한 번의 동전 던지기는 운명을 알려주지 않습니다.
하지만 1만 번의 동전 던지기는 우주의 질서를 보여줍니다.

우연이 충분히 쌓이면, 그건 더 이상 우연이 아닙니다.
그것이 야코프 베르누이가 우리에게 남긴 가장 아름다운 문장이에요.

묘비의 나선은 틀렸지만, 그의 수학은 틀리지 않았습니다.
변해도 다시 같은 모습으로 되살아나리 — Eadem mutata resurgo.