이자도어 싱어와 아티야-싱어 정리, 수학과 물리학이 같은 말을 하고 있었다

담장 하나를 사이에 두고 서로 다른 꿈을 꾸던 두 천재의 고립된 세계

1960년대 초반의 대학 캠퍼스는 수학자와 물리학자가 한 식당에서 밥을 먹으면서도 전혀 다른 언어를 쓰던 기묘한 장소였습니다.
수학자들은 현실과는 상관없는 추상적인 기하학의 성벽 안에 갇혀 숫자의 순수함만을 찬양했습니다.
반면 물리학자들은 우주의 기본 입자를 찾기 위해 지저분한 계산 수식과 씨름하며 그들만의 거친 세상을 만들고 있었죠.

이들은 마치 같은 아파트에 살지만 복도에서 마주쳐도 인사조차 하지 않는 서먹한 이웃과도 같았습니다.
수학자들에게 물리학은 '근거 없는 추측의 나열'이었고, 물리학자들에게 수학은 '쓸데없이 복잡한 장식'에 불과했습니다.
이 거대한 학문의 장벽을 처음으로 넘겨다본 사람이 바로 미국의 수학자 이자도어 싱어였습니다.

싱어는 어느 날 영국의 천재 수학자 마이클 아티야를 만나 아주 단순하지만 위험한 질문을 던졌습니다.
"우리가 푸는 미분방정식의 해답 숫자가 사실은 그 공간의 모양과 연결되어 있지 않을까?"
이 짧은 의문이 훗날 수백 년간 떨어져 있던 수학과 물리학을 하나로 묶는 거대한 폭발의 시작점이 될 줄은 아무도 몰랐습니다.

당시 수학계는 구조를 중시하는 위상수학이라는 새로운 흐름이 지배하고 있었습니다.
위상수학이란 물체의 크기나 길이를 무시하고 '구멍의 개수'처럼 변하지 않는 성질만 따지는 학문입니다.
싱어는 이 딱딱한 수학적 성질이 물리적인 운동 법칙과 하나로 이어질 수 있다는 직관을 가졌던 것이죠.

하지만 당시 동료들은 싱어의 이런 시도를 무모하다고 생각했습니다.
서로 다른 두 분야를 합치려는 시도는 양쪽 모두에서 외면당하기 딱 좋은 일이었기 때문입니다.
싱어는 사람들의 시선에 아랑곳하지 않고 아티야와 함께 칠판 앞에 서서 아무도 가보지 않은 길을 그리기 시작했습니다.

복잡한 계산기를 버리고 물체의 모양을 살피자 정답이 튀어나왔다

수학에서 가장 골치 아픈 일은 미분방정식이라는 복잡한 기계의 '정답 개수'를 알아내는 것입니다.
이자도어 싱어는 이 문제를 해결하기 위해 방정식을 푸는 대신, 그 방정식이 놓인 '운동장'의 모양을 보기로 했습니다.
그는 방정식의 해답 숫자를 뜻하는 지표(Index)가 결국 공간의 기하학적 형태와 완벽히 일치한다는 사실을 증명해냈습니다.

이것이 바로 현대 수학의 가장 위대한 성취 중 하나로 꼽히는 아티야-싱어 지표 정리입니다.
쉽게 비유하자면, 방 안의 온도를 일일이 측정하지 않고도 방의 가로, 세로, 높이만 알면 공기의 흐름을 정확히 맞출 수 있다는 선언과도 같습니다.
수식이라는 '소프트웨어'의 결과값이 공간이라는 '하드웨어'의 구조에 의해 이미 결정되어 있다는 혁명적인 발견이었죠.

싱어는 이 정리를 통해 수학자들이 수십 년간 고생하며 풀던 문제들을 단칼에 해결해버렸습니다.
"정답이 몇 개인지는 계산해볼 필요도 없어, 이 도형에 구멍이 두 개니까 정답도 두 개일 수밖에 없거든."
그가 제시한 이 논리는 너무나 명쾌해서 당시 수학계에 엄청난 충격을 주었습니다.

이 정리는 단순히 문제를 빨리 푸는 도구가 아니었습니다.
눈에 보이지 않는 추상적인 수학적 대상과 눈에 보이는 기하학적 형상을 잇는 무지개 다리가 놓인 셈입니다.
싱어는 이 공식을 통해 수학이라는 언어가 가진 가장 아름다운 대칭성을 세상에 드러냈습니다.

하지만 이 시점까지도 이 정리는 수학자들만의 잔치에 불과했습니다.
물리학자들은 여전히 자신들의 수식 더미 속에서 길을 잃고 헤매고 있었기 때문입니다.
싱어는 자신의 정리가 물리학이라는 실전 전쟁터에서 어떤 위력을 발휘할지 아직 깨닫지 못하고 있었습니다.

물리학자들이 밤새워 고민하던 암호문이 사실은 수학자들의 오래된 교과서였다

1970년대 중반, 물리학계는 양-밀스 이론이라는 우주의 기본 힘을 설명하는 수식 때문에 집단 멘붕에 빠져 있었습니다.
수식이 너무 복잡해서 도저히 풀리지 않았고, 계산 결과가 자꾸만 엉뚱한 방향으로 튀어나갔기 때문입니다.
이때 싱어는 물리학자들의 칠판을 슬쩍 보고는 깜짝 놀라 소리쳤습니다.

"이봐요, 당신들이 밤을 새우며 고민하는 그 '게이지 이론'이라는 게 우리가 100년 전부터 공부하던 '미분기하학'이랑 똑같은 말이잖아요!"
물리학자들이 우주 입자의 힘을 설명하기 위해 만든 게이지 이론은 사실 수학자들이 공간의 굴곡을 설명하던 언어와 완벽히 겹쳤던 것입니다.
용어만 달랐을 뿐, 그들은 같은 대상을 두고 서로 다른 이름을 붙여 부르고 있었습니다.

싱어는 즉시 물리학자들에게 자신의 '지표 정리'를 건넸습니다.
물리학자들이 변칙(Anomaly)이라고 부르며 골치 아파하던 현상이 사실은 수학의 지표 정리로 아주 쉽게 설명되는 현상이었죠.
이 순간, 수십 년간 굳게 닫혀 있던 수학과 물리학 사이의 철문이 굉음을 내며 열렸습니다.

당시 물리학의 거장 에드워드 위튼은 싱어의 정리를 접하고는 전율을 느꼈다고 회상합니다.
"우리가 보던 희미한 그림자의 실체가 수학이라는 거울에 완벽하게 비치고 있었다."
싱어는 물리학자들에게 그들이 사용하는 수학적 도구가 얼마나 강력한지를 직접 가르쳐주었습니다.

이제 물리학자들은 복잡한 입자 실험 없이도 수학적 논리만으로 우주의 구조를 예측하기 시작했습니다.
싱어가 놓은 다리를 건너 수학자들은 물리학의 직관을 얻었고, 물리학자들은 수학의 엄밀함을 손에 넣었습니다.
학문의 경계가 무너지자, 인류의 지식은 이전과는 비교할 수 없는 속도로 팽창하기 시작했습니다.

가장 아름다운 수학 공식이 우주를 지탱하는 가장 단단한 기둥이 되었다

오늘날 우리가 우주의 기원을 설명할 때 쓰는 초끈 이론이나 양자역학의 핵심 원리 뒤에는 어김없이 싱어의 이름이 붙어 있습니다.
그가 만든 공식은 현대 물리학이라는 거대한 건물을 지탱하는 가장 깊은 곳의 기초 공사가 되었습니다.
수학이 단순히 물리학의 보조 도구가 아니라, 우주의 설계도 그 자체라는 사실을 싱어가 증명한 셈입니다.

싱어는 생전에 이런 말을 남겼습니다. "수학과 물리학은 사실 같은 동전의 양면과 같습니다. 한쪽만 봐서는 절대로 진실을 알 수 없죠."
그의 노력 덕분에 이제는 수학과 물리학을 따로 떼어놓고 생각하는 학자는 아무도 없습니다.
한 천재의 호기심이 인류가 우주를 바라보는 방식 자체를 완전히 바꾸어 놓은 것입니다.

그는 2004년에 수학의 노벨상이라 불리는 아벨상의 첫 번째 수상자가 되며 그 공로를 인정받았습니다.
하지만 그는 상금이나 명예보다 자신이 만든 공식이 젊은 과학자들의 아이디어 속에서 살아 움직이는 것을 더 기뻐했습니다.
싱어는 96세의 나이로 세상을 떠날 때까지도 새로운 논문을 읽으며 학문의 통합을 멈추지 않았습니다.

지하철에서 내릴 시간이 다 된 당신에게 싱어의 삶은 묻습니다.
당신이 지금 긋고 있는 그 '경계선'이 사실은 더 큰 세상을 가로막고 있는 장벽은 아닌가요?
때로는 전혀 상관없어 보이는 두 가지를 연결하는 용기가 세상을 바꾸는 가장 강력한 힘이 되기도 합니다.

이자도어 싱어가 보여준 통합의 마법은 지금 이 순간에도 우주 어딘가에서 정답을 출력하고 있습니다.
우리가 사는 이 세상은 어쩌면 거대한 수학 공식이 빚어낸 가장 아름다운 조각품일지도 모릅니다.
당신이 내일 마주할 낯선 분야의 누군가에게 먼저 말을 걸어보는 건 어떨까요? 그곳에 새로운 우주가 숨어 있을지 모르니까요.