비유클리드 기하학, 평행선이 만나는 세계가 있다

"수학은 우리에게 보이지 않는 것을 보여주는 기술이다." - 고트프리트 빌헬름 라이프니츠

우리가 당연하게 여겼던 '평행선은 영원히 만나지 않는다'는 명제가 정말 언제나 참일까요? 직선을 긋고, 각도를 재고, 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 배우던 학창 시절을 떠올려 보세요. 모든 것이 완벽하고 논리적으로 맞아떨어지는 듯했던 그 세계, 바로 유클리드 기하학의 이야기입니다. 하지만 이 '완벽한' 세상에 대한 의문은 아주 오래전부터 제기되어 왔습니다. 과연 유클리드 기하학은 우주의 유일한 진리일까요?

'모든' 것을 정의한 남자, 유클리드

기원전 300년경, 알렉산드리아의 유클리드는 '원론'이라는 기념비적인 저서를 통해 당시까지 축적된 기하학 지식을 체계적으로 정리했습니다. 그는 몇 가지 기본적인 정의, 공준(증명 없이 참으로 받아들이는 명제), 그리고 공통 개념을 바탕으로 수많은 기하학적 정리를 논리적으로 증명해 나갔습니다. 특히, '두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작으면, 이 두 직선은 그 각의 방향으로 만나게 된다'는 내용에 기반한 평행선 공준은 매우 중요하게 다루어졌습니다. 이 공준 덕분에 우리가 학교에서 배운 모든 기하학적 원리들이 정립될 수 있었습니다. 유클리드 기하학은 그 후 2천 년 동안 수학과 과학의 근간을 이루며 절대적인 진리로 여겨졌습니다.

평행선 공준, 2천 년간의 '이상한' 집착

하지만 유클리드 자신을 포함한 수많은 수학자들은 다섯 번째 공준, 즉 평행선 공준이 다른 공준들과는 어딘가 다르다는 느낌을 지울 수 없었습니다. 다른 공준들은 직관적으로 명백해 보였지만, 평행선 공준은 상대적으로 복잡하고 '증명될 수 있는' 명제처럼 느껴졌기 때문입니다. 이 때문에 수많은 수학자들이 이 공준을 다른 공준들로부터 증명하려 애썼지만, 모두 실패로 돌아갔습니다. 오히려 이 과정에서 다양한 '비유클리드 기하학'의 가능성이 엿보이기 시작했습니다. 만약 평행선 공준이 참이 아니라면 어떻게 될까? 하는 질문이 탐험의 시작이었던 셈입니다.

완전히 다른 세상을 그린 비유클리드 기하학

19세기 초, 가우스, 로바체프스키, 볼야이는 독립적으로 평행선 공준을 부정하는 새로운 기하학을 발전시키는 데 성공했습니다. 예를 들어, 굽은 면 위에서 생각해보면 평행선 공준이 성립하지 않습니다. 구면 위에서 두 직선(대원)을 생각해 보세요. 적도에서 시작하여 북극을 향해 올라가는 두 직선은 북극이라는 한 점에서 만납니다. 이는 유클리드 기하학의 평행선 공준과 명백히 위배되는 결과입니다. 또한, 쌍곡 기하학에서는 한 점을 지나면서 주어진 직선에 평행한 선이 무수히 많이 존재할 수 있습니다. 이 비유클리드 기하학들은 처음에는 그저 수학적 유희나 기묘한 상상으로 치부되었지만, 곧 놀라운 현실성을 획득하게 됩니다.

그래서, 우리가 사는 세상은 어떤 기하학을 따를까?

유클리드 기하학은 평평한 표면, 즉 '유클리드 공간'에서는 완벽하게 작동합니다. 우리가 주변에서 흔히 경험하는 일상적인 규모에서는 유클리드 기하학으로도 충분히 정확합니다. 하지만 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 등장하면서 상황은 달라졌습니다. 이 이론에 따르면, 질량이 큰 물체 주변의 시공간은 휘어지고, 이러한 휘어진 시공간을 기술하는 데에는 비유클리드 기하학, 특히 리만 기하학이 필수적입니다. 우리가 발 딛고 있는 이 우주조차도 거시적인 관점에서는 완벽하게 평평하지 않을 수 있다는 것입니다. 유클리드 기하학의 '완벽함' 속에 숨겨진 가능성들이 우리의 우주를 이해하는 열쇠가 된 셈입니다. 어쩌면 우리가 당연하다고 생각하는 '진리' 뒤에는 또 다른 놀라운 세계가 펼쳐질지도 모릅니다. 다음번 길을 걸을 때, 혹은 밤하늘의 별을 볼 때, 우리가 사는 세상이 어떤 모습의 기하학으로 그려지고 있는지 한번 상상해보는 것은 어떨까요?