아르키메데스가 포물선을 끝낸 이유와 무한급수의 시작

아르키메데스는 휘어진 선의 넓이에 값을 매겼다

아르키메데스가 붙잡은 것은 왕관도 전쟁 기계도 아니었어요.
끝없이 휘어진 포물선의 남은 넓이였어요.

포물선은 공을 비스듬히 던졌을 때 그 공이 그리는 듯한 휘어진 길이에 가까워요.
아르키메데스는 그 곡선과 곧은 선 하나가 감싼 조각의 넓이를 구하려고 했어요.
오늘로 치면, 이상하게 휘어진 피자 조각을 저울 없이 정확히 나누겠다는 거예요.

당시 수학은 주로 곧은 선과 원을 다루는 데 익숙했어요.
자는 곧은 선에 강하고, 컴퍼스는 원에 강하잖아요.
그런데 휘어진 경계 안쪽은 손으로 잡히지 않는 안개처럼 보였어요.

아르키메데스는 여기서 물러서지 않아요.
그는 『포물선의 구적법』이라는 글에서 포물선 조각의 넓이를 숫자로 묶어 버려요.
이 책은 말 그대로 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한 수학 글이에요.

핵심은 놀랄 만큼 선명해요.
포물선 조각의 넓이는 그 안에 딱 맞게 잡은 어떤 삼각형 넓이에, 그 넓이의 3분의 1을 더한 값이에요.
다르게 말하면, 삼각형 넓이의 4분의 3을 더한 값이 되는 셈이에요.

이게 왜 대단하냐면, 곡선을 대충 재지 않았기 때문이에요.
"이 정도면 비슷해"가 아니에요.
"정확히 이 값이야"라고 못 박은 거예요.

그는 작은 삼각형들을 끝없이 더했다

그의 계산은 한 번에 끝나지 않았어요.
작아지는 삼각형들이 끝없이 줄을 섰어요.

아르키메데스는 먼저 포물선 조각 안에 큰 삼각형 하나를 넣어요.
그 삼각형은 휘어진 공간을 꽤 많이 채워요.
하지만 양쪽에 아직 빈틈이 남아요.

그래서 그는 그 빈틈에도 더 작은 삼각형을 넣어요.
또 빈틈이 남으면 더 작은 삼각형을 넣어요.
마치 큰 종이를 접고, 남은 조각을 또 접고, 다시 접는 일 같아요.

여기서 보통 사람은 겁을 먹어요.
"끝없이 남으면 계산도 끝없이 해야 하는 거 아니야?"
그런데 아르키메데스는 바로 그 끝없음을 붙잡아요.

그는 작아지는 삼각형들의 넓이가 일정한 비율로 줄어든다는 점을 봐요.
큰 삼각형 다음에 생기는 삼각형들의 총합은 그보다 작아요.
그다음은 또 더 작아요.

이 장면은 훗날 우리가 무한급수라고 부르는 생각과 닮아 있어요.
무한급수는 끝없이 더하는 것처럼 보이지만, 전체가 하나의 값으로 가까워지는 더하기예요.
달려가는 사람이 목적지에 끝없이 가까워지는데, 실제 거리의 합은 정해지는 느낌이에요.

아르키메데스는 이렇게 말하는 사람처럼 보여요.
"끝없이 많다고 해서, 끝없이 모르는 건 아니야."
그래서 포물선 조각은 흐릿한 그림자가 아니라 계산 가능한 넓이가 돼요.

그가 쓴 기계적 방법은 뒤늦게 되살아났다

아르키메데스의 가장 대담한 계산법은 책장 속에서 조용히 살아남은 것이 아니었어요.
다른 글 아래에 묻혀 있었어요.

그 글의 이름은 『방법』이에요.
아르키메데스가 에라토스테네스에게 보낸 수학 편지로 알려져 있어요.
에라토스테네스는 고대 알렉산드리아에서 책과 지식을 관리하던 학자였고, 지구의 크기를 재려고 한 사람으로도 유명해요.

『방법』에서 아르키메데스는 아주 이상한 일을 해요.
도형의 넓이와 부피를 마치 저울에 올린 물건처럼 비교해요.
수학자가 자와 컴퍼스만 쓰는 게 아니라, 머릿속에 저울을 하나 꺼내는 거예요.

이게 반전이에요.
우리는 아르키메데스를 엄격한 증명의 사람으로 기억해요.
그런데 그는 답을 찾아가는 첫걸음에서 물리적인 상상력을 써요.

시험 답안은 깔끔하게 내지만, 사실 집에서는 주방저울로 먼저 감을 잡은 사람 같아요.
"아, 이쪽이 이만큼 무거우면 저쪽 넓이는 이쯤 되겠네."
그런 다음에야 그는 누구도 반박하기 어려운 증명으로 다듬어요.

더 놀라운 건 그 글의 운명이에요.
중세의 누군가가 오래된 양피지 위 글을 지우고 다른 글을 덧씌워요.
양피지는 동물 가죽으로 만든 비싼 종이라, 새 글을 쓰려고 옛 글을 긁어내는 일이 있었어요.

그래서 『방법』은 사라진 것처럼 보여요.
하지만 완전히 죽지는 않아요.
밑에 깔린 희미한 글자와 도형이 근대에 다시 읽히며 되살아나요.

아르키메데스의 머릿속 작업실이 뒤늦게 열린 셈이에요.
그 안에는 완성된 정답만 있는 게 아니었어요.
답을 찾아 헤매던 손길까지 남아 있었어요.

로마 병사의 칼끝에서도 원은 지워지지 않았다

그가 마지막까지 지키려 한 것은 목숨보다 값비싼 보물이 아니었어요.
바닥에 그린 도형이었어요.

후대의 기록을 남긴 플루타르코스는 로마군이 시라쿠사를 점령했을 때의 이야기를 전해요.
시라쿠사는 아르키메데스가 살던 도시였고, 전쟁 끝에 로마군에게 넘어가요.
그때 아르키메데스는 도형에 몰두해 있었다고 해요.

전쟁 한복판에서 도형이라니, 이상하게 들리죠.
하지만 이 장면을 사무실 화재경보로 바꿔 보면 조금 이해돼요.
모두가 뛰쳐나가는데, 어떤 사람이 마지막 엑셀 셀 하나를 확인하려고 화면을 붙잡고 있는 거예요.

전해지는 말도 있어요.
로마 병사가 다가오자 아르키메데스가 "내 원을 건드리지 마시오"라고 했다는 이야기예요.
정확한 말투와 순간은 후대 기록마다 다르지만, 사람들이 기억한 핵심은 같아요.

그는 권력자에게 잘 보이려 하지 않았어요.
재산을 챙기려 뛰지도 않았어요.
그의 시선은 바닥의 선 위에 있었어요.

그래서 이 죽음은 단순한 비극으로만 남지 않아요.
한 사람이 무엇에 완전히 사로잡힐 수 있는지 보여주는 장면이 돼요.
칼끝 앞에서도 그의 세계는 아직 계산 중이었어요.

아르키메데스가 포물선의 넓이를 구했다는 말은, 그래서 단순한 수학 성과가 아니에요.
그는 휘어진 것을 포기하지 않았어요.
끝없이 작아지는 것을 겁내지 않았어요.

그리고 마지막 순간까지 선을 바라봤어요.
우리가 스쳐 지나가는 곡선 하나에도, 누군가는 평생을 걸 수 있다는 듯이요.