자리스키가 평생 배운 수학을 버린 이유

유대인 청년 자리스키, 로마 수학 황금기에 빠지다

1921년 로마, 오스카 자리스키는 당대 최고의 기하학자 세 명 밑에서 공부하고 있었어요.
20년 뒤 그는 그들이 가르친 모든 것을 무너뜨리게 돼요.

키이우에서 추방되다시피 떠나 로마에 도착한 22살의 자리스키를 기다리고 있던 건 이탈리아 대수기하학의 황금기였어요.
카스텔누오보, 엔리퀘스, 세베리 세 사람은 곡선과 곡면의 성질을 그림과 직관으로 풀어내는 방식으로 수십 년간 수학계를 지배하고 있었죠.
자리스키는 그 화려한 전통의 황태자였어요.

그런데 문제가 하나 있었어요.
천재 셰프 세 명의 주방에서 요리를 배웠는데, 나중에 알고 보니 모든 레시피가 "대충 이쯤"에 기댄 어림짐작이었던 거예요.
이 거장들의 증명은 곳곳에 "그림으로 보면 분명하잖아"라는 식의 비약으로 채워져 있었고, 황금기는 무너지기 직전이었어요.

자리스키는 자신의 책을 쓰다 학문 전체를 의심했다

자리스키는 스승들의 업적을 정리하는 책을 쓰려 했어요.
다 쓰고 나서 그는 모든 것을 처음부터 다시 시작하기로 결심했죠.

1935년 출간된 『Algebraic Surfaces』(대수곡면)는 원래 이탈리아 학파의 연구를 체계적으로 집대성하려는 책이었어요.
가업의 회계장부를 정리하려고 꺼냈는데, 30년 동안 운영해온 가게의 숫자가 죄다 어긋나 있는 상황이랄까요.
집필 과정에서 자리스키는 핵심 정리 상당수가 엄밀한 증명이 아니라 "그림으로 보면 자명한 사실"에 가깝다는 걸 하나씩 확인해나갔어요.

스승들을 기념하려 시작한 책이 결국 그 학문 전체를 처음부터 다시 써야 한다는 결론으로 이어졌어요.
아름다운 집인 건 맞았어요. 단단하지 않았을 뿐이지.

자리스키는 마흔에 학생처럼 대수학을 다시 배웠다

이미 존스홉킨스 대학 종신교수였던 자리스키는 다시 학생이 됐어요.
그가 책상에 펼친 건 자신보다 한참 어린 동료가 쓴 새 대수학 교과서였죠.

30년 경력의 베테랑 의사가 마흔에 갑자기 의대 1학년 교재를 꺼내 처음부터 읽기 시작한 상황이에요.
반 데어 베르덴의 『Moderne Algebra』는 수학을 그림이 아닌 순수한 기호와 구조로 다루는 추상대수학을 정립한 1930년대 교과서로, 자리스키보다 젊은 세대가 만들어낸 새 언어였어요.
자리스키는 여기서 가환환, 아이디얼, 체 같은 추상 도구를 끌어왔어요.

이 단어들은 어렵게 들리지만, 핵심은 하나예요.
"그림 없이도 수학적 구조를 정확하게 기술할 수 있는 언어"를 만드는 도구예요.
이탈리아 학파가 직관으로 "그릴 수 있는 것"들에 갇혀 있었다면, 자리스키는 그릴 수 없는 차원에서도 작동하는 언어를 만들어낸 거예요.

그 결과 자리스키 위상(Zariski topology)과 자리스키 주정리(Zariski's main theorem) 같은 개념들이 태어났어요.
자리스키 위상이란 기하학적 도형을 방정식의 해 집합으로 정의하고 그 위에 독자적인 공간 구조를 만드는 방법이에요.
"곡선이나 곡면을 눈으로 그리지 않고도 그 성질을 완전히 기술할 수 있는 지도"를 만든 셈이죠.

필즈상 수상자 히로나카가 스승의 난제를 풀었다

히로나카 헤이스케가 1964년 풀어낸 문제는, 자리스키가 평생 풀지 못한 바로 그 문제였어요.
그리고 그것은 자리스키가 새로 만든 언어로만 풀 수 있는 문제였죠.

특이점 해소(resolution of singularities)는 수학에서 "갑자기 어그러지는 지점"을 매끄럽게 펼쳐낼 수 있느냐는 문제예요.
아무리 구겨진 종이도 잡아당기면 반드시 평평하게 펼 수 있느냐는 질문이라고 생각하면 돼요.
자리스키는 저차원의 경우를 직접 증명했지만, 모든 차원에서 작동하는 일반적인 증명에는 끝내 다가서지 못했어요.

그 문제를 자리스키의 일본인 제자 히로나카가 해결했어요.
히로나카는 이 업적으로 1970년 필즈상을 받았고, 같은 시기 또 다른 제자 데이비드 멈포드도 1974년 필즈상을 받았어요.
필즈상은 수학의 노벨상으로 불리며 4년에 한 번 최대 네 명에게만 수여돼요.

자리스키는 이 광경을 살아서 봤어요.
평생 도전했지만 끝내 풀지 못한 문제를, 자신이 가르친 학생이 자신이 만든 도구로 풀어내는 순간을요.
스승의 학문을 무너뜨리고 새 언어를 만든 사람이 정작 자신이 풀지 못한 문제에서 제자에게 먼저 당한 셈인데, 그 순간 자리스키의 표정이 어땠을지, 살짝 궁금하지 않나요?