23세 클라인이 2000년 기하학을 한 문장으로 정리했다

23세 신임 교수의 취임 연설 하나가, 2000년간 쌓인 기하학 교과서를 한순간에 다시 쓰게 만들었어요.

1872년, 펠릭스 클라인은 독일 에를랑겐 대학의 교수로 임용됐어요.
그런데 첫 연설에서 그는 이렇게 말했어요.
"기하학이란 어떤 변환을 해도 변하지 않는 성질을 연구하는 학문이에요."

레고 블록을 생각하면 돼요.
돌리거나 뒤집어도 여전히 같은 블록이잖아요.
클라인은 바로 그 논리로, 수학에서 '같다'는 게 무엇인지 새로 정의한 거예요.

당시 기하학은 세 갈래로 나뉘어 있었어요.
유클리드 기하학(삼각형의 내각의 합이 180도라고 배운 그것), 비유클리드 기하학(곡면 위에선 규칙이 달라지는 것), 사영 기하학(그림자와 투영을 다루는 것)은 서로 다른 학문처럼 여겨졌어요.
그런데 클라인은 이것들이 모두 군론(group theory)이라는 하나의 틀로 설명된다고 선언했어요.

군론이란 어떤 변환들의 집합이 특정 규칙을 만족할 때 그것을 '군'이라고 부르는 이론이에요.
쉽게 말하면, "어떤 규칙 아래에서 뭐가 변하지 않는지"를 따지는 수학적 도구예요.
이것이 바로 에를랑겐 프로그램이에요.

유클리드 이래 2000년간 수학자들은 각자의 기하학을 독립된 왕국처럼 쌓아올렸어요.
그런데 이제 막 교단에 선 스물세 살짜리 청년이, 그 모든 왕국이 사실 한 나라였다고 말한 거예요.
당시 청중이 어떤 표정을 지었을지, 충분히 상상이 가요.