오마르 하이얌이 3차 방정식을 그림으로 푼 이유

오마르 하이얌은 답을 숫자 대신 선으로 찾았다

오마르 하이얌이 찾은 3차 방정식의 답은 숫자 줄이 아니라 두 곡선이 만나는 한 점이었어요.

오늘 우리가 방정식을 풀면 계산기 화면에 숫자가 뜨죠.
하지만 하이얌에게 답은 화면 속 숫자가 아니었어요.
종이 위에 그린 선 하나가 다른 선을 딱 만나는 자리였어요.

이건 수학자가 공식을 몰라서 돌아간 길이 아니에요.
오히려 그 시대에는 도형이 가장 믿을 만한 증거였어요.
자물쇠 비밀번호를 머리로 추측하는 대신, 금속판 위에 홈을 맞춰 “여기가 열리는 자리야” 하고 보여주는 방식에 가까워요.

하이얌은 『대수 문제의 증명에 관한 논문』을 썼어요.
이 책은 3차 방정식을 종류별로 나누고, 각각을 어떻게 풀 수 있는지 따져 본 수학 저작이에요.
말하자면 복잡한 자물쇠를 한 종류로 뭉뚱그리지 않고, 홈 모양별로 따로 분류한 거예요.

3차 방정식은 x가 세 번 곱해지는 식이 들어간 방정식이에요.
초등학생 식으로 말하면, 길이와 넓이를 넘어 부피까지 끌고 들어오는 문제예요.
그래서 단순한 저울 놀이처럼 한쪽에서 빼고 더하는 식으로는 잘 안 풀려요.

그래서 하이얌은 질문을 바꿨어요.
“이 숫자가 얼마지?”가 아니라 “이 길이는 어디서 나타나지?”라고 물었어요.
그 순간 방정식은 계산 문제가 아니라 그림 속 추적 게임이 됐어요.

원뿔을 자른 곡선이 3차 방정식의 열쇠였다

그에게 방정식의 답은 계산 끝에 나오는 숫자가 아니라 지도에서 만나는 교차로였어요.

복잡한 주소를 말로 설명하면 길을 잃기 쉬워요.
하지만 지도 위에서 두 길이 만나는 지점을 찍으면 바로 알죠.
하이얌의 3차 방정식 풀이가 딱 그랬어요.

그가 사용한 것은 원뿔 곡선이에요.
원뿔 곡선은 고깔 모양을 칼로 자를 때 생기는 원, 포물선, 쌍곡선 같은 곡선이에요.
아이스크림 콘을 비스듬히 자르면 단면 모양이 달라지는 걸 떠올리면 쉬워요.

하이얌은 이런 곡선들을 서로 만나게 했어요.
그리고 그 만나는 지점에서 필요한 길이를 읽어냈어요.
그 길이가 바로 3차 방정식의 해였어요.

현대인에게는 이상하게 들릴 수 있어요.
“그냥 공식으로 풀면 더 정확하지 않아?”라는 생각이 먼저 들죠.
하지만 하이얌이 살던 세계에서는 곡선이 오히려 숨은 수를 눈앞에 꺼내 주는 강력한 도구였어요.

그는 숫자를 포기한 게 아니에요.
숫자가 아직 말로 나오기 전, 먼저 모양으로 붙잡은 거예요.
보이지 않는 답에게 “너 여기 있었구나” 하고 손가락을 올린 셈이에요.

이 대목이 놀라운 건 하이얌이 3차 방정식을 마구잡이로 다루지 않았다는 점이에요.
그는 문제를 종류별로 갈라 봤어요.
그리고 각 유형에 맞는 곡선의 만남을 찾아냈어요.

그러니까 그의 수학은 낭만적인 그림 놀이가 아니에요.
정교한 분류와 증명의 작업이에요.
그림은 장식이 아니라, 답이 도망가지 못하게 잡아두는 그물이에요.

셀주크 술탄은 하이얌에게 달력을 맡겼다

하이얌은 책상 위의 곡선만 다룬 사람이 아니었어요. 그는 제국의 날짜까지 다시 맞춘 수학자였어요.

1074년 무렵, 셀주크 술탄 말리크샤가 하이얌을 불러요.
셀주크는 11세기 페르시아와 중앙아시아의 넓은 땅을 다스리던 나라예요.
말리크샤는 그 나라의 군주였고, 왕국의 시간표를 다시 맞추려 했어요.

이건 오늘날 회사의 계산 전문가에게 갑자기 전 직원의 캘린더와 출근 시계와 회계 마감일을 다시 설계하라고 맡기는 일과 비슷해요.
달력은 벽에 걸린 종이가 아니에요.
세금, 농사, 제사, 행정, 여행이 모두 그 날짜에 묶여 있어요.

그래서 달력을 고친다는 건 “오늘이 며칠인가”만 정하는 일이 아니에요.
사람들이 씨를 뿌릴 때를 정하고, 관리들이 문서를 맞추고, 왕국 전체가 같은 시간을 보게 만드는 일이에요.
작은 오차가 쌓이면 계절과 날짜가 어긋나요.

하이얌은 이스파한 천문대와 달력 개혁 작업에 참여해요.
이스파한은 당시 중요한 도시였고, 천문대는 하늘의 움직임을 관찰해 시간을 재는 곳이에요.
별을 보는 일은 시를 쓰기 위한 낭만이 아니라, 날짜를 정확히 맞추기 위한 계산이었어요.

여기서 하이얌의 두 얼굴이 하나로 이어져요.
방정식에서 보이지 않는 길이를 찾던 사람이, 하늘에서 보이지 않는 시간의 규칙을 찾은 거예요.
종이 위 곡선과 밤하늘의 별자리는 전혀 달라 보이지만, 둘 다 같은 질문을 품고 있어요.

“겉으로 흩어져 보이는 것 안에 어떤 질서가 있지?”

그래서 하이얌은 단순히 머리 좋은 학자가 아니에요.
그는 추상적인 문제를 실제 세계의 시간으로 바꿔 놓은 사람이에요.
책상 위에서 풀린 수학이 왕국의 하루를 움직인 셈이에요.

시인은 수학자 하이얌을 오래 가렸다

오마르 하이얌의 이름을 유명하게 만든 것은 수학이었지만, 대중이 먼저 기억한 것은 술잔과 시였어요.

하이얌은 훗날 『루바이야트』로 서양에서 널리 알려져요.
루바이야트는 하이얌에게 전해지는 짧은 페르시아 4행시 모음이에요.
짧은 네 줄 안에 삶, 죽음, 술, 순간의 기쁨 같은 주제가 들어 있어요.

그런데 여기에는 묘한 반전이 있어요.
그 시들이 실제로 얼마나 하이얌의 것인지는 학계에서 논쟁적이에요.
반면 3차 방정식 연구는 훨씬 더 분명하게 그의 이름과 연결돼요.

평생 만든 설계도보다 우연히 책상에 남긴 메모 한 장으로 기억되는 사람을 떠올리면 돼요.
대중은 복잡한 수학 논문보다 술잔이 등장하는 짧은 시를 더 쉽게 사랑했어요.
그래서 수학자 하이얌은 시인 하이얌 뒤에 오래 가려졌어요.

하지만 그 가려짐이 오히려 하이얌을 더 이상하게 빛나게 해요.
한쪽에는 3차 방정식을 원뿔 곡선으로 푸는 사람.
다른 한쪽에는 짧은 시의 그림자가 따라다니는 사람.

우리가 그를 제대로 보면, 술잔만 든 시인도 아니고 숫자만 보는 수학자도 아니에요.
그는 보이지 않는 답을 보이는 형태로 바꾸려 한 사람이에요.
방정식에서는 곡선으로, 하늘에서는 달력으로, 기억 속에서는 네 줄의 시로요.

그래서 하이얌을 읽는 일은 한 사람의 직업을 맞히는 퀴즈가 아니에요.
그가 어디서든 같은 일을 했다는 걸 알아보는 일이에요.
“보이지 않는 질서를 어떻게 눈앞에 세울 수 있을까?”라는 질문을, 그는 평생 다른 모양으로 붙잡고 있었던 것 아닐까요?