괴델은 25살에 수학의 완전성을 무너뜨렸다

1931년 빈의 한 24세 청년이 25페이지짜리 논문으로 수학자들이 100년간 추구해온 꿈을 단번에 끝장냈어요.

그 꿈의 주인은 다비트 힐베르트였어요.
20세기 초 독일 최고의 수학자로, "수학의 모든 진리는 공리에서 출발해 반드시 증명할 수 있어야 한다"는 거대한 프로젝트를 밀어붙이고 있었어요.
공리란 '당연히 참이라 받아들이는 출발점'이에요. "두 점 사이에는 직선 하나가 존재한다"같은 거예요.

쉽게 말하면 이런 거예요.
세상 모든 단어의 정의를 담은 완벽한 사전을 만들겠다는 거예요.
그런데 그 사전 안에 "이 항목은 거짓이다"라고 적힌 항목이 있다면 어떻게 될까요?

그 항목이 참이면 거짓이 되고, 거짓이면 참이 되는 무한 모순에 빠져요.
쿠르트 괴델은 바로 그 함정을 수학 언어로 직접 만들어냈어요.
"이 명제는 수학적으로 증명될 수 없다"는 문장을 수학 공식 안에 집어넣은 거예요.

그 문장이 참이면 증명 없이도 참인 명제가 존재하니 수학은 불완전해요.
거짓이라고 해도 결국 수학 체계 자체가 모순을 품고 있어요.
어느 쪽이든 힐베르트의 꿈은 깨지는 거예요.

이것이 불완전성 정리예요.
수학에는 영원히 증명도 부정도 할 수 없는 명제가 반드시 존재한다는 결론이에요.
수학을 완벽하게 만들려던 청년이, 수학은 원래 완벽할 수 없다는 사실을 증명해버렸어요.

괴델은 시민권 면접에서 미국 헌법의 모순을 발견했다

1947년 12월, 괴델은 미국 시민권을 받으러 가서 판사 앞에서 "미국이 합법적으로 독재국가가 될 수 있다"고 증명하려 했어요.

배경은 이래요.
나치가 오스트리아를 합병하자 괴델은 미국으로 건너왔고, 새 나라에 완전히 정착하기 위해 시민권 면접을 준비했어요.
그런데 준비가 너무 철저했어요. 헌법을 처음부터 끝까지 논리학자의 눈으로 읽었거든요.

그러다 발견해버렸어요.
헌법이 정해놓은 합법적 절차만 따르면, 민주주의 형식을 유지하면서도 독재 체제로 전환할 수 있는 논리적 허점이 있다는 걸요.
흥분한 괴델은 면접 당일 판사 앞에서 이걸 직접 설명하겠다고 했어요.

그래서 당일 두 사람이 동행했어요.
알베르트 아인슈타인과 경제학자 오스카 모겐슈타인이었어요.
두 사람은 가는 길 내내 괴델을 달랬다고 해요. "오늘만큼은 제발 '예, 아니요'만 해."

판사가 면접을 시작하며 물었어요. "독일 출신이시군요. 독재가 어떤 건지 잘 아시겠어요?"
그러자 괴델이 대답했어요. "네, 사실 그래서 드릴 말씀이 있는데요..."
아인슈타인이 재빨리 끼어들어 화제를 돌렸어요. 시민권은 무사히 나왔어요.

새 조국이 좋아서 헌법을 샅샅이 읽었는데, 결함을 발견해버린 논리학자의 비극이었어요.

아인슈타인은 괴델과 산책하려고 연구소에 출근했다

아인슈타인은 죽기 직전 친구에게 이렇게 고백했어요.
"내 연구는 더 이상 별 의미가 없어. 내가 연구소에 가는 유일한 이유는 괴델과 함께 걷기 위해서야."

두 사람이 만난 곳은 프린스턴 고등연구소(IAS)였어요.
세계 최고 수준의 학자들이 연구비를 받으며 자유롭게 연구하는 기관이에요.
1942년부터 1955년 아인슈타인이 세상을 떠날 때까지, 두 사람은 거의 매일 함께 출퇴근하며 캠퍼스를 걸었어요.

이 고백은 친구 오스카 모겐슈타인에게 한 말이에요.
20세기 가장 유명한 과학자가, 자신의 연구보다 옆 사람과의 산책을 더 소중히 여기게 된 거예요.
대중에겐 거의 알려지지 않은 마른 논리학자가, 아인슈타인이 매일 연구소에 나가는 이유였어요.

두 사람이 걷는 동안 나눈 이야기는 평범하지 않았어요.
시간의 본질, 우주가 회전하면 어떻게 되는가, 그리고 시간여행이 가능한가였어요.
괴델은 실제로 아인슈타인의 일반상대성이론 방정식에 "우주가 회전한다"는 조건을 넣으면 과거로 가는 경로가 수학적으로 존재한다는 괴델 우주 해법을 계산해냈어요.

아인슈타인은 괴델을 두고 이렇게 말했어요.
"내가 IAS에서 만난 사람 중 가장 날카로운 사람이야."

괴델은 아내가 입원하자 음식을 거부했다

1978년 1월, 20세기 최고의 논리학자는 29킬로그램의 몸으로 발견되었어요.
사인은 영양실조였어요.

괴델은 평생 누군가 자신을 독살하려 한다는 공포를 안고 살았어요.
이건 논리적 추론이 아니라 정신적 질환이었어요.
그 공포 속에서 그가 믿을 수 있는 음식은 딱 하나뿐이었어요. 아내 아델레가 직접 만든 음식이요.

아델레는 괴델보다 훨씬 생활력이 강한 사람이었어요.
빈에서 댄서 출신으로, 괴델 가족의 반대를 무릅쓰고 결혼을 밀어붙인 여성이에요.
그리고 평생 괴델의 식사를 책임지면서 그의 가장 중요한 안전장치가 됐어요.

1977년 후반, 아델레가 몸이 나빠 6개월 동안 병원에 입원해야 했어요.
괴델은 그 기간 동안 음식을 거의 먹지 않았어요.
아델레가 만든 게 아니면 안 된다는 거였어요.

그리고 1978년 1월 14일, 프린스턴 병원에서 생을 마감했어요.
사망 진단서에 적힌 사인은 "인격장애로 인한 영양실조 및 영양실종"이었어요.
체중은 65파운드, 약 29킬로그램이었어요.

수학의 불완전성을 증명하고, 헌법의 논리적 허점을 발견하고, 아인슈타인이 매일 찾아온 사람이었어요.
하지만 그의 뇌가 스스로에게 건 논리는 가장 비논리적인 결말을 만들어냈어요.

인간의 이성에는 한계가 있다는 걸 수학으로 증명한 사람이, 자신의 이성이 무너지는 것을 막지 못했어요.
괴델의 불완전성은 수학에만 적용된 게 아니었던 걸까요.