비루니 측지학, 산 하나로 지구 반지름을 잰다

측지학은 지구의 크기와 모양을 관측으로 재는 학문이에요. 비루니는 높은 산에 올라 수평선이 얼마나 내려앉는지를 잰 뒤, 그 각도와 산의 높이만으로 삼각법을 써서 지구 반지름을 계산했어요.

측지학이 뭘까요

큰 공을 손에 들고 "이 공이 얼마나 크죠?" 물으면 자를 대서 재면 돼요.
그런데 우리가 딛고 선 지구는 너무 커서 자를 댈 수가 없죠.
그래서 직접 재는 대신, 관측한 각도와 거리로 지구의 크기와 모양을 거꾸로 계산해 내는 학문이 바로 측지학이에요.
한마디로 '땅을 재는 학문'이라는 뜻이죠.

이 글의 주인공은 알 비루니예요.
970년대에 호라즘, 그러니까 지금의 우즈베키스탄 지역에서 태어난 천문학자이자 수학자죠.
그는 남긴 책 146권 가운데 95권을 천문학·수학과 수리지리학에 쏟았을 만큼, 하늘과 땅을 숫자로 재는 데 평생을 걸었어요.

산 하나로 지구를 어떻게 쟀을까요

바닷가에 서면 저 멀리 수평선이 눈높이쯤에 보이죠.
그런데 높은 언덕에 올라가면 수평선이 눈높이보다 살짝 아래로 내려가 보여요.
더 높이 올라갈수록 더 많이 내려앉고요.
이 '내려앉는 각도'를 재고 내가 선 산의 높이를 알면, 공처럼 둥근 지구가 얼마나 큰지 계산으로 뽑아낼 수 있어요.

비루니는 실제로 이 방법을 지금의 파키스탄 핀드 다단 칸에 있는 난다나(Nandana)라는 곳에서 해냈어요.
먼저 산의 높이를 재고, 산꼭대기에서 수평선이 내려앉는 각도를 쟀죠.
그 각도가 34각분, 그러니까 1도를 60으로 나눈 것 중 34칸이었어요.

이 두 숫자를 삼각법에 넣어 지구 반지름을 구한 거예요.
넓은 벌판을 며칠씩 걸으며 거리를 재던 옛 방식과 달리, 산 하나와 각도만 있으면 됐으니 훨씬 영리한 방법이었죠.

얼마나 정확했을까요

비루니가 얻은 값은 지구 반지름 약 12,803,337 큐빗이었어요.
큐빗은 팔꿈치에서 손끝까지의 길이를 기준으로 한 옛 단위인데, 이걸 18인치로 보느냐 22인치로 보느냐에 따라 결과가 3,600마일에서 4,200마일까지 달라져요.

스파라비냐라는 연구자가 환산한 값으로는 약 3928.77마일이 나오는데, 실제 지구 평균 반지름인 약 3847.80마일보다 2퍼센트쯤 높은 값이에요.

하지만 '아주 정밀했다'고만 말하면 조금 과장이에요.
비루니는 대기굴절, 그러니까 빛이 공기를 지날 때 살짝 휘는 현상을 몰라서 보정하지 못했거든요.
이 굴절 때문에 수평선이 내려앉는 각도가 실제보다 6분의 1까지 어긋날 수 있어서, 계산의 정확도는 실제값의 약 20퍼센트 이내에 그쳐요.

운 좋게 값이 가깝게 나온 면도 있는 거죠.
그래도 천 년 전에 산 하나로 이만큼 접근했다는 건 놀라운 일이에요.

지구 크기를 알고 나서 무엇을 상상했을까요

지구가 얼마나 큰지 숫자로 손에 쥐자, 비루니는 한 걸음 더 나아갔어요.
1037년에 쓴 『코덱스 마수디쿠스』에서, 그는 아시아와 유럽이 알려진 육지의 전부라면 이상하다고 봤죠.
그가 계산한 지구 둘레에 견주면, 아프리카와 유라시아를 다 합쳐도 지구 둘레의 5분의 2밖에 안 됐거든요.
그러면 나머지 넓은 바다 어딘가에 우리가 모르는 큰 땅이 있어야 앞뒤가 맞았어요.

그래서 그는 그 대양에도 대륙이 있을 것이고, 사람이 살 만한 위도라면 누군가 살고 있을 거라고 추론했어요.
오늘날의 아메리카 대륙에 해당하는 땅을, 그것이 실제로 알려지기 훨씬 전에 숫자로 짚어 본 셈이죠.
땅을 재는 일이 상상의 지도를 넓히는 데까지 이어진 거예요.

정리

여기서 기억할 것은 세 가지예요.
첫째, 측지학은 자를 댈 수 없는 지구를 관측한 각도로 재는 학문이고, 비루니는 산 하나와 각도만으로 지구 반지름을 계산했어요.
둘째, 그 값은 실제와 2퍼센트밖에 차이 나지 않을 만큼 가까웠지만, 대기굴절을 몰라 오차가 20퍼센트까지 벌어질 수 있는 근사값이었어요.
셋째, 그렇게 얻은 지구의 크기를 바탕으로 그는 바다 건너 미지의 대륙까지 추론했죠.

'근대 측지학의 아버지'라는 별명은 후대 사람들이 붙인 거예요.
하지만 산 하나와 각도만으로 지구를 재려 했던 그 방식은, 오늘날 위성으로 지구를 재는 방식과 원리가 같아요.