프레게가 숫자를 논리로 풀어내려 한 이유

프레게 논리주의는 수학이 사실은 논리 규칙에서 모두 끌어낼 수 있다고 본 생각이에요. 1 더하기 1은 2 같은 셈도 사람들끼리의 약속이 아니라, 논리만으로 증명되는 진리라는 주장이죠.

1 더하기 1은 왜 2일까요

잠깐 생각해 볼게요. 1 더하기 1은 2예요. 너무 당연해서 이유를 물어본 적도 없죠. 그런데 "왜?"라고 누가 끈질기게 물으면 뭐라고 답할 수 있을까요? "원래 그래", "다들 그렇게 약속했어" 정도가 떠오를 거예요. 19세기 독일에 살던 한 수학자는 이 대답이 영 마음에 들지 않았어요. 숫자가 사람들 약속이라면, 약속을 바꾸면 1 더하기 1이 3이 될 수도 있다는 뜻이잖아요. 그는 그럴 리 없다고 믿었어요. 이 글은 그가 찾으려 한 더 단단한 답이 무엇이었는지 보여드릴게요.

프레게는 누구였을까요

그 사람의 이름은 고틀로프 프레게예요. 1848년부터 1925년까지 살았고, 독일 예나라는 도시의 대학에서 평생 수학을 가르쳤어요. 살아 있을 때는 거의 무명이었어요. 강의실은 늘 한산했고, 그가 쓴 책도 잘 팔리지 않았죠. 그런데 지금은 수리논리학과 분석철학을 처음 연 사람으로 불려요. 어렵게 들리지만 풀어 보면 이래요. 그는 우리가 생각하고 따지는 과정을 마치 계산처럼 또박또박 적어 내려가는 방법을 만들었어요. 그전까지 논리는 말로 두루뭉술 다뤄졌는데, 그가 처음으로 기호와 규칙으로 정리한 거예요. 오늘 우리가 쓰는 컴퓨터 프로그램의 먼 조상뻘이라고 봐도 좋아요.

논리주의가 뭐냐면요

프레게의 핵심 생각이 바로 논리주의예요. 레고 블록을 떠올려 보세요. 아무리 크고 복잡한 성을 만들어도, 뜯어 보면 결국 작은 블록 몇 종류로만 이뤄져 있어요. 프레게는 수학도 똑같다고 봤어요. 덧셈, 곱셈, 복잡한 방정식까지 전부 뜯어 보면 단 하나의 재료, 바로 논리로 되돌릴 수 있다는 거죠. 여기서 논리란 "이것이면 저것이다", "모든", "어떤" 같은, 누구도 부정 못 할 가장 기본적인 생각의 규칙들이에요. 숫자조차도 그는 논리로 정의하려 했어요. 예를 들어 숫자 2를 "짝이 되는 것들의 묶음"처럼, 더 밑바닥 개념에서 끌어내려 했죠. 만약 이게 성공하면 1 더하기 1은 2는 약속이 아니라, 논리에서 빠져나올 수 없는 진리가 돼요. 바꾸고 싶어도 바꿀 수 없는 거예요. 그는 이 작업을 10년 넘게 책 두 권에 걸쳐 차곡차곡 쌓아 올렸어요.

러셀의 편지 한 통

그런데 1902년, 두 번째 책을 막 인쇄하려던 즈음에 영국의 젊은 철학자 버트런드 러셀에게서 편지 한 통이 왔어요. 편지에는 짧은 질문 하나가 담겨 있었어요. 프레게가 쌓아 올린 체계 안에 작은 모순이 숨어 있다는 거였죠. "자기 자신을 담지 않는 모든 묶음들의 묶음"을 생각하면, 그게 자기를 담아도 안 되고 안 담아도 안 되는 이상한 상황이 벌어진다는 내용이었어요. 마치 "나는 지금 거짓말을 하고 있다"는 말처럼 빙글빙글 돌며 답이 안 나오는 함정이었죠. 평생의 작업이 이 한 통으로 흔들렸지만, 프레게는 도망가지 않았어요. 책 끝에 "내 건물의 주춧돌이 무너졌다"고 솔직히 적었어요. 학자로서 보기 드문 정직함이었죠. 그의 꿈은 완성되지 못했지만, 그가 닦아 둔 길 위에서 러셀을 비롯한 여러 학자가 논리와 수학을 새로 세워 나갔어요.

정리

프레게는 1 더하기 1이 2인 까닭을 약속이 아닌 논리에서 찾으려 한 사람이었어요. 수학을 레고처럼 뜯어 보면 결국 논리라는 한 가지 재료가 나온다는 이 생각이 논리주의예요. 러셀의 편지로 그 꿈은 끝내 완성되지 못했지만, 생각을 기호로 또박또박 적는 그의 방법은 오늘날 논리학과 철학, 나아가 컴퓨터의 바탕이 되었어요. 당연해 보이는 것에 "왜?"를 끝까지 물고 늘어진 한 사람이, 결국 세상의 생각하는 방식을 바꿔 놓은 셈이에요.