필즈상이 던지는 첫 질문

필즈상 수상자라는 말은 크게 들려요. 그런데 처음 듣는 사람에게는 오히려 질문이 먼저 생겨요. “그래서 이 사람이 한 연구가 왜 그렇게 중요한 걸까?” 하고요.

위고 뒤미닐코팽은 2022년 필즈상 수상자예요. 1985년 프랑스에서 태어난 수학자이고, 제네바 대학교에서 스미르노프의 지도를 받았어요. 박사 이후에는 빠르게 제네바 대학교와 IHES에서 핵심 연구자로 자리 잡았어요.

하지만 이 글에서 더 중요한 것은 경력표가 아니에요. 이름보다 먼저 붙잡아야 할 질문은 이것이에요. “무작위처럼 보이는 현상을 어떻게 증명할 수 있을까?”

그가 바라본 통계물리는 바로 그런 질문이 모이는 곳이었어요. 통계물리는 아주 많은 구성 요소가 함께 있을 때 어떤 물리 현상이 나타나는지 확률과 모형으로 이해하려는 분야예요. 한 사람의 움직임은 예측하기 어려워도, 출근길 지하철 전체의 붐빔에는 반복되는 패턴이 보이는 것과 비슷해요.

여기서 확률론의 엄밀함이 중요해져요. 그냥 “대충 이런 경향이 있겠지”라고 말하는 데서 멈추지 않고, 우연처럼 보이는 현상도 증명 가능한 문장으로 다루려는 태도예요. 안개 낀 풍경을 감상하는 것이 아니라, 그 안개가 어디까지 퍼지는지 자로 재려는 일에 가까워요.

그래서 뒤미닐코팽의 이야기는 젊은 천재의 성공담으로만 읽으면 금방 얇아져요. 핵심은 그가 무작위와 물리 현상을 수학의 언어로 붙잡으려 했다는 점이에요. 필즈상이 던지는 첫 질문도 결국 여기에 있어요. 왜 어떤 수학자는 불규칙해 보이는 세계에서, 증명 가능한 질서를 찾는 일로 큰 평가를 받았을까요?

구멍과 자석이 수학 문제가 될 때

무작위라는 말은 보통 “어차피 알 수 없다”는 느낌을 줘요. 그런데 수학자는 조금 다르게 물어요. 완전히 예측할 수는 없어도, 어떤 조건에서 길이 이어지고 어떤 순간에 질서가 사라지는지는 말할 수 있지 않을까 하는 거예요.

예를 들어 구멍이 숭숭 난 물질이 있다고 생각해 볼게요. 물을 부었을 때 물길이 중간에 막힐까요, 아니면 반대편까지 이어질까요? 침투 이론은 이런 장면으로 이해할 수 있어요. 복잡한 물질 전체를 다 보는 대신, 격자 위에서 길이 열렸는지 닫혔는지를 따져 보는 식이에요.

여기서 격자 확률 모형이라는 말이 나와요. 어렵게 들리지만 핵심은 단순해요. 칸이나 점으로 된 공간 위에서, 어떤 선택은 우연히 일어나고 그 우연들이 모여 어떤 연결이나 질서를 만드는지 보는 모형이에요. 바둑판 위의 칸 몇 개가 무작위로 열릴 때, 어느 순간 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 길이 생기는지 묻는다고 생각하면 가까워요.

아이징 모형도 비슷한 방식으로 볼 수 있어요. 이 모형은 자석이 온도 변화에 따라 어떻게 질서를 잃는지 생각하게 해 주는 대표적 수학 모형이에요. 낮은 온도에서는 작은 방향들이 한쪽으로 가지런히 맞는 것처럼 보이다가, 온도가 올라가면 그 질서가 흐트러지는 장면을 떠올리면 돼요.

중요한 점은 뒤미닐코팽이 이런 장면들을 단순한 비유로만 다룬 것이 아니라는 데 있어요. 그는 침투 이론, 아이징 모형, 자기 회피 보행 같은 격자 확률 모형을 통해 물리 현상을 수학적으로 분석해요. 물길, 자석, 꼬이지 않고 걷는 길 같은 익숙한 그림이 엄밀한 증명의 대상이 되는 거예요.

자기 회피 보행은 이름 그대로, 이미 지나간 곳을 다시 밟지 않는 길을 생각하게 해요. 그는 스미르노프와 함께 벌집 격자 위 자기 회피 보행의 오래된 수학적 값을 엄밀히 계산했어요. 여기서 중요한 건 수식 자체보다, 무작위로 보이는 길에도 정확히 붙잡을 수 있는 구조가 있다는 점이에요.

그래서 이 연구의 재미는 무작위를 없애는 데 있지 않아요. 오히려 무작위를 그대로 두고, 그 안에서 어떤 질서가 증명될 수 있는지 묻는 데 있어요. 물길이 이어지는 순간, 자석의 질서가 흐트러지는 순간, 꼬이지 않는 길의 성질이 모두 “그럴듯한 설명”을 넘어 수학 문제가 되는 거예요.

무작위에도 증명 가능한 경계가 있다

상전이는 어렵게 들리지만, 핵심은 단순해요. 어떤 조건을 넘는 순간 성질이 달라지는 현상이에요. 물이 얼음이 되듯이, 또는 자석이 어느 온도에서 질서를 잃듯이 “언제부터 달라지는가”를 묻는 문제예요.

여기서 위고 뒤미닐코팽의 연구가 중요해져요. 중요한 것은 자석이나 물길 자체만이 아니라, 그 변화의 경계를 우연한 느낌이 아니라 증명의 언어로 붙잡는 일이에요. 마치 안개 속에 희미하게 보이는 선을 자로 재듯, 무작위처럼 보이는 현상 안에서 정확히 말할 수 있는 부분을 찾는 거예요.

공식 수상 사유도 이 지점을 가리켜요. 그의 필즈상 수상 사유는 통계물리의 상전이에 관한 확률론적 이론, 특히 3차원과 4차원 문제 해결을 핵심으로 들어요. IMU는 그의 연구가 통계물리 상전이의 수학 이론을 크게 바꾸고 새 연구 방향을 열었다고 평가했어요.

조금 더 풀어보면, 그는 공동 연구자들과 함께 3차원 아이징 유형 모형의 상전이에 관한 중요한 성질들을 증명했어요. 아이징 모형은 자석의 질서와 무질서를 이해하려는 수학적 모형으로 볼 수 있어요. 앞에서 본 “자석이 언제 질서를 잃는가”라는 그림이, 여기서는 엄밀한 수학 문제가 되는 셈이에요.

4차원 아이징 모형에서도 그는 공동 연구를 통해 물리학에서 오래 논의된 임계 거동을 엄밀한 수학 결과로 다루었어요. 임계 거동은 변화가 일어나는 경계 부근에서 나타나는 특징을 말해요. 산길에서 정상 바로 근처의 경사가 유난히 중요하듯, 상전이에서는 바로 그 경계 주변의 성질이 핵심이 돼요.

그래서 그의 연구는 2차원 격자 문제에 머물지 않고 3차원과 4차원 임계 현상까지 엄밀하게 다루는 방향으로 확장되었다고 볼 수 있어요. 다만 이것은 모든 문제가 끝났다는 뜻은 아니에요. 더 정확히는, 아주 어려운 무작위 모형들 안에서 증명 가능한 구조를 세우는 길을 넓혔다는 뜻이에요.

이 연구는 당장의 제품이나 기술로 바로 이어지는 응용 연구라기보다, 물질의 변화가 어떤 수학적 원리로 설명될 수 있는지 토대를 세우는 기초 연구에 가까워요. 그래서 위고 뒤미닐코팽의 필즈상은 단순히 어려운 문제를 많이 푼 사람에게 준 상으로만 보이지 않아요. 무작위 속에도 수학이 붙잡을 수 있는 경계와 구조가 있다는 사실을 보여준 평가로 기억할 수 있어요.

위고 뒤미닐코팽은 2022년 필즈상 수상자이지만, 더 오래 남는 핵심은 “어떤 질문을 수학으로 바꾸었느냐”에 있어요. 그는 침투 이론, 아이징 모형, 자기 회피 보행 같은 격자 확률 모형을 통해 무작위처럼 보이는 물리 현상을 엄밀하게 분석해 왔어요.

공식 수상 사유도 통계물리의 상전이에 관한 확률론적 이론, 특히 3차원과 4차원 문제 해결을 중요하게 봐요. 다만 이것은 모든 문제가 끝났다는 뜻이 아니라, 어려운 무작위 모형 안에서 증명 가능한 구조를 세우는 길을 넓혔다는 뜻에 가까워요.

그래서 그의 연구는 당장의 응용보다, 물질의 변화가 어떤 수학적 원리로 설명될 수 있는지 토대를 놓는 기초 연구로 기억할 수 있어요. 위고 뒤미닐코팽의 필즈상은 무작위 현상 속에도 증명 가능한 구조가 있다는 연구 방향의 가치를 보여준 평가라고 볼 수 있어요.