공을 가장 빽빽하게 쌓는다는 질문

마트 과일 코너에서 오렌지가 피라미드처럼 쌓여 있는 모습을 본 적 있을 거예요. 보기에는 그냥 빈틈을 줄여 차곡차곡 올린 것 같지만, 수학자는 여기서 조금 다른 질문을 해요. “같은 크기의 공을 겹치지 않게 놓을 때, 공간을 얼마나 빽빽하게 채울 수 있을까?”

이 질문이 바로 구 채우기 문제예요. 핵심은 공을 많이 넣는 재주가 아니라, 같은 크기의 구를 겹치지 않게 놓으면서 빈 공간을 얼마나 줄일 수 있는지 따지는 데 있어요. 책상 위 동전처럼 평면에 놓으면 2차원 문제에 가깝고, 오렌지 상자처럼 쌓으면 3차원 문제가 돼요.

그런데 “가장 빽빽해 보이는 배열”과 “정말로 최적인 배열”은 달라요. 눈으로 보기에는 더 넣을 곳이 없어 보여도, 어딘가에 전혀 다른 방식의 배열이 있을 수 있거든요. 그래서 수학에서 중요한 말은 최적성, 즉 더 나은 방법이 없다는 것을 보이는 성질이에요.

비유하자면, 방 안에 의자를 가장 많이 넣는 방법을 찾았다고 말하는 것과 비슷해요. 그냥 많이 넣어 본 사진을 보여 주는 것만으로는 부족해요. “어떤 배치를 해도 이보다 더 많이는 못 넣어요”라고 설득해야 진짜 답이 되는 거예요.

여기서 문제가 어려워지는 이유가 차원이에요. 우리는 2차원 그림이나 3차원 공간은 어느 정도 상상할 수 있지만, 수학에서는 그보다 더 많은 방향을 가진 공간도 다뤄요. 방향이 늘어나면 가능한 배열도 훨씬 낯설어지고, 어떤 배열이 정말 최선인지 확인하는 일도 훨씬 까다로워져요.

비아조우스카의 결과 전까지 정확한 최적 구 채우기는 낮은 차원에서만 알려져 있었어요. 그러니 구 채우기 문제는 단순한 모양 맞추기처럼 보이지만, 실제로는 수학 내부의 여러 분야와도 깊게 연결되는 오래된 최적 배열 문제였던 셈이에요.

그래서 이 문제의 출발점은 “공을 예쁘게 쌓는 법”이 아니에요. 진짜 질문은 “이보다 더 빽빽하게 쌓는 방법은 없다고 어떻게 증명할 수 있을까?”예요. 이 차이를 붙잡아야, 왜 8차원에서 나온 비아조우스카의 결과가 특별한 사건처럼 받아들여졌는지도 이해할 수 있어요.

8차원에서 E8은 왜 특별했나

좋은 배열을 찾는 것과, 그 배열보다 더 좋은 배열은 없다고 보이는 것은 서로 달라요. 책상 위에 동전을 가지런히 놓는 장면을 떠올리면 쉬워요. 보기에는 촘촘해 보여도, 누군가 아주 교묘한 방식으로 빈틈을 줄일 수 있다면 “최선”이라고 말할 수는 없어요.

여기서 격자는 일정한 규칙을 가진 점들의 배열이에요. 구 채우기에서는 이 점들이 구의 중심이 된다고 생각하면 돼요. 바닥에 점을 찍어 두고, 그 점마다 같은 크기의 공을 하나씩 올려놓는 장면과 비슷해요.

E8 격자는 8차원에서 구의 중심을 놓을 수 있는 특별히 대칭적인 점 배열로 이해할 수 있어요. 8차원은 눈으로 그릴 수 없지만, 규칙이 매우 잘 맞아떨어지는 좌표들의 배열이라고 생각하면 조금 가까워져요. 중요한 것은 “이상하게 생긴 고차원 물건”이 아니라, 구를 빽빽하게 놓는 데 아주 유력해 보이는 규칙적 배열이라는 점이에요.

낯선 장면은 여기서 나와요. E8 격자 채우기에서는 한 구가 240개의 이웃 구와 맞닿는다고 설명할 수 있어요. 3차원에서 공 하나가 주변 공들과 닿는 모습을 떠올리다가, 갑자기 이웃이 240개인 세계로 들어가면 8차원의 대칭성이 얼마나 낯선지 감이 와요.

하지만 숫자 240이 곧 결론은 아니에요. 이웃이 많고 배열이 아름다워 보여도, 그것만으로 최적이라고 말할 수는 없어요. 수학에서 진짜 어려운 부분은 “E8이 좋아 보인다”가 아니라 “E8보다 더 조밀한 구 채우기는 없다”를 증명하는 데 있어요.

밀도는 구들이 공간을 차지하는 비율이에요. E8 격자 채우기의 밀도는 8차원에서 약 25.4%로 계산돼요. 이 수치는 E8이 얼마나 촘촘한지를 보여 주는 보조적인 감각을 주지만, 수치만 안다고 증명의 핵심을 이해한 것은 아니에요.

비아조우스카가 특별해진 이유는 바로 이 지점에 있어요. 그는 8차원에서 E8 격자보다 더 조밀한 구 채우기는 없다는 것을 증명했어요. 그러니까 그의 성과는 E8을 발견한 데 있는 것이 아니라, E8이 정말 최선임을 보인 데 있어요.

그래서 이제 질문은 자연스럽게 다음으로 넘어가요. E8이 특별한 배열이라는 것은 알겠어요. 그렇다면 어떻게 “아무리 다른 방법을 찾아도 이것보다 더 빽빽하게는 못 한다”고 말할 수 있었을까요?

천재담보다 중요한 증명의 방식

좋아 보이는 배열을 찾는 것과, 그보다 더 좋은 배열은 없다고 증명하는 것은 전혀 다른 일이에요. 전자는 “이렇게 쌓으면 꽤 빽빽해요”라고 보여 주는 일이고, 후자는 “어떤 방식으로 바꿔도 이 한계를 넘을 수 없어요”라고 막아 내는 일이에요.

상한은 바로 그 한계를 뜻해요. 운동장에 사람을 최대한 많이 세운다고 생각해 볼게요. 어떤 줄서기 방식이 좋아 보이는 것만으로는 부족하고, 운동장의 크기 때문에 아무리 머리를 써도 이 숫자 이상은 못 들어간다는 계산까지 맞아야 해요.

비아조우스카의 돌파구는 이 지점에 있었어요. E8 격자가 좋다는 추측을 넘어서, 그보다 더 나은 구 채우기가 불가능하다는 상한을 맞추는 특수 함수를 만들어 냈기 때문이에요. 다시 말해 “좋은 후보”와 “최선이라는 증명” 사이의 마지막 간격을 메운 셈이에요.

여기서 푸리에 해석은 자세한 계산보다 역할로 이해하면 충분해요. 복잡한 모양을 다른 방식으로 바라보게 해 주는 수학의 렌즈에 가깝다고 보면 돼요. 비아조우스카는 선행된 푸리에 해석 기반 상한 방법 위에서, 8차원에 필요한 특수 함수를 구성하는 방식으로 문제의 핵심을 건드렸어요.

그래서 이 이야기는 “천재가 어려운 문제를 풀었다”에서 멈추면 아쉬워요. 더 중요한 장면은, 수학이 어떤 대상을 최선이라고 부르기 위해 무엇을 요구하는지 보여 준다는 데 있어요. 수학에서 최선은 감탄이 아니라, 더 나은 가능성을 하나씩 닫아 가는 증명으로 얻어져요.

마리나 비아조우스카는 2022년 필즈상을 받은 우크라이나 출신 수학자예요. 필즈상은 국제수학연맹이 뛰어난 수학 업적과 앞으로의 가능성을 인정해 수여하는 대표적 상이에요. 그 표창은 8차원 E8 격자 최적성 증명과 관련 푸리에 해석의 기여를 함께 평가했어요.

8차원 이후에는 24차원 결과도 이어졌지만, 이 역시 조심해서 기억해야 해요. 24차원 결과는 비아조우스카와 네 명의 공동 연구자가 함께 증명한 성과예요. 그러니 비아조우스카의 이름이 특별한 이유는 모든 차원을 혼자 해결했다는 영웅담이 아니라, 오래된 고차원 문제에서 “최선임을 보이는 법”을 선명하게 보여 준 데 있어요.

구 채우기 문제는 같은 크기의 구를 겹치지 않게 놓아 공간을 얼마나 조밀하게 채울 수 있는지 묻는 오래된 최적 배열 문제예요. 비아조우스카는 8차원에서 E8 격자보다 더 조밀한 구 채우기는 없다는 것을 증명했어요.

중요한 점은 E8이 좋아 보이는 배열이라는 직관이 아니라, 그보다 더 나은 채우기가 불가능하다는 상한을 맞추는 특수 함수를 만들어 냈다는 데 있어요. 필즈상 표창도 이 8차원 E8 격자 최적성 증명과 관련 푸리에 해석의 기여를 함께 평가했어요.

그래서 마리나 비아조우스카는 단순히 어려운 8차원 문제를 푼 천재가 아니라, 오래된 최적 배열 문제에 새 증명 방식을 보여 준 수학자로 기억할 수 있어요. 수학의 아름다움은 복잡한 차원을 말하는 데서 끝나지 않고, 더 나은 가능성이 없다는 구조를 정확히 보이는 데서 드러나요.