하이얌 자브르, 3차방정식을 곡선의 교점으로 풀다

자브르(جبر)는 훗날 '대수학(algebra)'의 어원이 된 아랍어예요. 오마르 하이얌은 3차방정식의 답을 숫자 계산이 아니라, 포물선·원 같은 곡선 두 개를 그려 그 두 선이 만나는 점의 위치로 찾아냈어요.

자브르(جبر)가 무슨 뜻일까요

낯선 단어부터 풀어 볼게요.
자브르(جبر)는 '흩어진 것을 다시 맞춘다'는 뜻의 아랍어예요.
방정식에서 이리저리 옮겨진 항들을 정리해 균형을 맞추는 작업을 가리켰고, 이 말이 유럽으로 건너가 오늘날 우리가 배우는 '대수학(algebra)'이 되었어요.
그러니까 자브르는 곧 방정식을 다루는 수학이라고 보면 돼요.

오마르 하이얌은 1048년부터 1131년까지 페르시아 니샤푸르에서 산 수학자이자 천문학자예요.
그가 사마르칸트에서 후원을 받아 쓴 책이 바로 『대수학론』인데, 완성 시점은 1079년경으로 추정돼요(자료에 따라 1070년으로 적힌 곳도 있어요).
이 글은 하이얌의 시나 철학이 아니라, 오직 이 자브르, 즉 그의 방정식 풀이에만 집중할 거예요.

3차방정식은 왜 그렇게 어려웠을까요

2차방정식은 오늘날 중학교에서 근의 공식으로 뚝딱 풀어요.
그런데 x가 세제곱(x³)까지 올라가는 3차방정식은 이야기가 달라요.
하이얌 시절에는 음수도, 우리가 쓰는 편리한 기호도 없었거든요.
마치 계산기 없이 큰 곱셈을 손으로 하는 것처럼 막막했어요.

하이얌은 여기서 놀라운 정리 작업을 해요.
3차 이하의 방정식을 전부 모아 이항방정식 3개, 삼항방정식 9개, 사항방정식 7개로 빠짐없이 나눴어요.
그중에서도 더 낮은 차수로 줄일 수 없는 진짜 3차방정식이 14가지 유형이라는 걸 밝혀냈고요.
흩어진 문제들을 서랍마다 이름표를 붙여 정리한 셈이에요.

곡선의 교점으로 푼다는 게 무슨 말일까요

하이얌의 진짜 재주는 여기서 나와요.
그는 숫자를 이리저리 계산해 답을 뽑는 대신, 종이에 곡선을 그렸어요.

보물지도 두 장을 겹쳐 놓는 장면을 떠올려 보세요.
한 장에는 강줄기가, 다른 한 장에는 산길이 그려져 있어요.
두 지도를 포개면 강과 길이 딱 만나는 지점이 생기죠.
하이얌은 방정식을 이 두 장의 지도처럼 곡선으로 바꿔 그렸어요.
예를 들어 포물선 두 개, 또는 포물선과 원을 그린 다음, 그 곡선들이 서로 만나는 교점을 찾은 거예요.
그리고 그 교점의 가로 위치(가로좌표)가 바로 3차방정식의 양의 근, 즉 답이 됐어요.

숫자로 헤매던 문제를 눈으로 보이는 도형으로 바꿔 답의 자리를 짚어낸 거죠.
이런 곡선들을 원뿔곡선이라고 불러요.

하이얌이 남긴 숙제는 어떻게 됐을까요

하이얌은 정직한 사람이었어요.
자기가 찾은 건 어디까지나 도형으로 답의 위치를 짚는 방법일 뿐, 숫자만으로 딱 떨어지게 계산하는 산술적 해법은 아직 없다고 스스로 인정했어요.
그러면서 '우리 이후 누군가는 그것을 알게 될 것'이라고 남겼어요.

이 두 가지를 헷갈리면 안 돼요.
둘이 어떻게 다른지 표로 볼게요.

하이얌이 남긴 이 숙제는 무려 400여 년 뒤인 16세기에야 풀려요.
카르다노, 타르탈리아, 델페로 같은 이탈리아 수학자들이 3차방정식의 일반 대수적 해법을 마침내 완성했거든요.
하이얌의 예언이 정말로 맞은 셈이에요.

오늘 우리에게 자브르는 무엇일까요

하이얌이 곡선을 그려 방정식을 푼 방식은 후대에 큰 씨앗이 됐어요.
곡선의 위치를 좌표로 잡아 방정식과 이어 붙이는 생각은, 훗날 데카르트가 만든 해석기하학과 닮아 있어요.
그래서 학자 라시드와 바합자데는 2000년에 하이얌을 데카르트의 선구자로 볼 수 있다고 주장했고, 프랑스어 번역자 뵈프케는 1851년에 그의 '일반화 능력과 엄밀하게 체계적인 절차'를 높이 평가했어요.

지금 우리가 그래프 위에서 두 선이 만나는 점을 답으로 읽는 방식, 그 오래된 뿌리 하나가 바로 하이얌의 자브르인 거예요.

정리

자브르(جبر)는 대수학의 어원이 된 말이고, 오마르 하이얌은 이 자브르에서 3차방정식을 곡선으로 푸는 길을 열었어요.
그는 3차 이하 방정식을 전부 분류하고, 낮은 차수로 못 줄이는 14가지 3차방정식을 포물선과 원 같은 곡선의 교점으로 풀었어요.
다만 이건 도형으로 답의 위치를 짚는 기하학적 해법이었고, 숫자로 계산하는 대수적 해법은 스스로 미해결로 남겨 16세기에야 풀렸다는 점을 함께 기억하면 돼요.